Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+2x-3經過坐標軸上A，B，C三點，動點P在拋物線上．

（1）求證：OA=OC；
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，直接寫出△DEF外接圓的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、C點的坐標，可得答案；
（2）①以A為直角頂點時，根據根據等腰三角形的性質，可得∠2的度數，∠3的度數，根據對頂角的性質，可得∠4的度數，根據等腰直角三角形的性質，可得P₁H₁=H₁G，可得關于a的方程，根據解方程，可得a的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；②當C為直角頂點時，根據角的和差，可得∠P₂CH₂=45°，根據等腰直角三角形的性質，可得關于a的方程，根據解方程，可得a的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（3）根據矩形的性質，可得OD與EF的關系，根據垂線段的性質，可得OD的長，根據圓的面積公式．

解答 （1）證明：由拋物線y=x²+2x-3
令y=0，則x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
所以A（-3，0），即OA=3；
令x=0，則y=-3，
所以C（0，-3），即OC=3；
所以OA=OC；              

（2）解：①當A為直角頂點時，過點A作AP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，交y軸于點G，過P₁作P₁H₁⊥y軸于點H₁，如圖1所示，
由（1）OA=OC，∠AOC=90°
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠P₁AC=90°，
∴∠P₁AO=45°，∠3=45°，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠H₁P₁G=45°
△AOG，△P₁H₁G為等腰直角三角形
即OA=OG=3，P₁H₁=H₁G，
設P₁（a，a²+2a-3）
則 a=a²+2a-3-3，
解得a₁=2，a₂=-3（舍）
此時a²+2a-3=5
所以P₁坐標是（2，5）；
②當C為直角頂點時，過點C作CP₂⊥AC，交拋物線于點P₂，過P₂作P₂H₂⊥y軸于點H₂，如圖2所示，
∵∠1=45°，∠P₂CA=90°，
∴∠P₂CH₂=45°．
∵∠P₂H₂C=90°，
∴△P₂H₂C為等腰直角三角形．
即P₂H₂=H₂C
設P₂（a，a²+2a-3）
則-a=-a²-2a+3-3，
解得a₁=-1，a₂=0（舍去），
此時a²+2a-3=-4
所以P₂坐標是（-1，-4）
綜上所述，點P坐標是（2，5）或（-1，-4）．

（3）△DEF的外接圓面積最小等于$\frac{9π}{8}$． 
如圖3所示，
因為△DEF為直角三角形，則它外接圓的直徑為線段EF，要使圓的面積最小，則直徑EF必須取最小值，
又因為EF與OD是矩形OEDF的對角線，所以EF=OD．
因為點到線的距離，垂線段最短，得
OD_最小值=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
故EF=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$時，△DEF的外接圓面積最小，得
π（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9π}{8}$，
△DEF的外接圓面積最小等于$\frac{9π}{8}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用自變量與函數值的對應關系得出A、C點的坐標是解題關鍵；利用等腰三角形的性質得出關于a的方程式解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；利用矩形的性質得出OD與EF的關系是解題關鍵，又利用了垂線段的性質．