Question

【題目】閱讀理解：

材料1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=．

材料2．已知實數m，n滿足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n，求的值．

解：由題知m，n是方程x2-x-1=0的兩個不相等的實數根，

根據材料1得m+n=1，mn=-1，

∴．

解決問題：

(1)一元二次方程x2-4x-3=0的兩根為x1，x2，則x1+x2= ，x1x2= ．

(2)已知實數m，n滿足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．

(3)已知實數p，q滿足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2 的值．

Answer 1

【答案】（1）4，-3；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根據根與系數的關系求解；

（2）利用m、n滿足的等式，可把m、n可看作方程2x2-2x-1=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到m+n=1，mn=-，接著把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整體代入的方法計算；

（3）先設t=2q，代入2q2=3q+1化簡得到t2=3t+2，根據p與t滿足的等式可把p與t（即2q）為方程x2-3x-2=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到p+2q=3，p2q=-2，接著利用完全平方公式變形得到p2+4q2=（p+2q）2-2p2q，然后利用整體代入的方法計算．

（1）x1+x2=﹣，x1x2=﹣；

故答案為﹣ ，﹣；

（2）∵m、n滿足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，

∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的兩實數解，

∴m+n=1，mn=﹣，

∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；

（3）設t=2q，代入2q2=3q+1化簡為t2=3t+2，

則p與t（即2q）為方程x2﹣3x﹣2=0的兩實數解，

∴p+2q=3，p2q=﹣2，

∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p2q=32﹣2×（﹣2）=13．