Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．
問：（1）圖中△APD與哪個三角形全等？試證明之；
（2）△APE與哪個三角形相似？試證明之；
（3）如果PE=4，EF=5，求線段PC的長．

Answer 1

分析：（1）△APD與△CPD全等．根據(jù)菱形的性質可以找到全等條件；
（2）△APE∽△FPA，根據(jù)（1）的結論知道∠DCP=∠DAP，而根據(jù)CD∥AF得到∠F=∠DAP，這樣就可以證明它們相似；（3）根據(jù)（1），（2）可以得到PC=PA=

PE•PF

=6．

解答：解：（1）△APD≌△CPD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDP=∠ADP，DP公共．
∴△APD≌△CPD．

（2）△APE∽△FPA．
∵根據(jù)（1）的結論知道∠DCP=∠DAP，而CD∥AF，
∴∠F=∠DAP，
由（1）△APD≌△CPD，可得∠DCR=∠DAP，
∴∠F=∠DCP，
∴APE∽△FPA．

（3）根據(jù)（1），（2）可以得到PC=PA=

PE•PF

=6．

點評：此題主要考查了菱形、相似三角形和全等三角形的性質與判定．