Question

如圖所示，已知△ABC的內心為I，外心為O．
（1）試找出∠A與∠BOC，∠A與∠BIC的數量關系．
（2）由（1）題的結論寫出∠BOC與∠BIC的關系．

Answer 1

解：（1）如本題圖，∠A為⊙O中所對的圓周角，由圓周角定理得∠A=∠BOC．
∵I是△ABC的內心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．

（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+×∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的關系是∠BIC=90°+∠BOC．
分析：（1）根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠A與∠BOC的數量關系；根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理確定∠A與∠BIC的數量關系．
（2）根據（1）中的數量關系消去∠A即可得到兩角之間的關系．
點評：此題中可以熟記：當O是外心時，則∠BOC=∠A；當I是內心時，則∠BIC=90°+∠A．