Question

5．如圖，已知∠AOB=30°，P為其內部一點，OP=3，MN分別為OA、OB邊上的一點，則△PMN的周長的最小值為3．

Answer 1

分析 設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，△PMN的周長最小．

解答 解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．
∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
故答案為：3．

點評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．