Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切于點P,且∥BC.

（1） 連接PO，并延長交⊙O于點D，連接AD.證明： AD平分∠BAC；

（2） 在（1）的條件下，AD交BC于點E，連接CD.若DE＝2，AE＝6.試求CD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=4.

【解析】試題分析：（1）由切線的性質得到PD⊥l，再由∥BC，得到PD垂直平分弦BC，由垂徑定理得到弧BD=弧DC，即可得到結論；

（2）證明△ADC∽△CDE，由相似三角形的對應邊成比例即可得到結論．

試題解析：解：（1）∵與⊙O相切于點P，∴PD⊥l．∵ ∥BC，∴PD⊥BC，∴ PD平分弦BC ，∴弧BD=弧DC ， ∴∠BAD=∠DAC ，即AD平分∠BAC；

（2）∠BAD=∠BCD且∠BAD=∠DAC，∴ ∠DAC=∠BCD．

在△ADC和△CDE中

∵∠DAC=∠BCD，∠ADC=∠EDC，∴△ADC∽△CDE ，

∴， ，∴DC=4．