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13.已知:xn,x′n是關于x的方程anx2-4anx+4an-n=0(an>an+1)的兩個實數根,xn<x′n,其中n為正整數.且a1=1.
(1)x′1-x1的值為2
(2)當n分別取1、2、…、2013時,相對應的有2013個方程,將這些方程的所有實數根按照從小到大的順序排列.相鄰兩數的差恒為(x′1-x1)的值,則x′2013-x2012=6.

分析 (1)當n=1,a1=1,方程為程x2-4x+3=0,利用因式分解法得到x1=1,x1′=3,則x′1-x1=2;
(2)由于2013個方程的所有實數根按照從小到大的順序排列.相鄰兩數的差恒為2,則這些根為1,3,5,7,9,11,…,然后理解x′2013為第2013個方程較大的解,x2012為第2012個方程較小的解,從而可得到x′2013-x2012的值.

解答 解:(1)當n=1,a1=1,x1,x′1是關于x的方程x2-4x+3=0的兩個實根,解得x1=1,x1′=3,
所以x′1-x1=3-1=2;
(2)∵x′1-x1=2,
∴當n分別取1、2、…、2013時,相對應的2013個方程的所有實數根按照從小到大的順序排列為
1,3,5,7,9,11,…,
∵x′2013為第2013個方程較大的解,x2012為第2012個方程較小的解,
∴x′2013和x2012相差6,
即x′2013-x2012=6.
故答案為2,6.

點評 本題考查了根與系數的關系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=-$\frac{b}{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.解決本題的關鍵是確定每個方程的根的特點.

練習冊系列答案
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