Question

13．已知：x_n，x′_n是關于x的方程a_nx²-4a_nx+4a_n-n=0（a_n＞a_n+1）的兩個實數根，x_n＜x′_n，其中n為正整數．且a₁=1．
（1）x′₁-x₁的值為2
（2）當n分別取1、2、…、2013時，相對應的有2013個方程，將這些方程的所有實數根按照從小到大的順序排列．相鄰兩數的差恒為（x′₁-x₁）的值，則x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂=6．

Answer 1

分析 （1）當n=1，a₁=1，方程為程x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₁′=3，則x′₁-x₁=2；
（2）由于2013個方程的所有實數根按照從小到大的順序排列．相鄰兩數的差恒為2，則這些根為1，3，5，7，9，11，…，然后理解x′₂₀₁₃為第2013個方程較大的解，x₂₀₁₂為第2012個方程較小的解，從而可得到x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂的值．

解答 解：（1）當n=1，a₁=1，x₁，x′₁是關于x的方程x²-4x+3=0的兩個實根，解得x₁=1，x₁′=3，
所以x′₁-x₁=3-1=2；
（2）∵x′₁-x₁=2，
∴當n分別取1、2、…、2013時，相對應的2013個方程的所有實數根按照從小到大的順序排列為
1，3，5，7，9，11，…，
∵x′₂₀₁₃為第2013個方程較大的解，x₂₀₁₂為第2012個方程較小的解，
∴x′₂₀₁₃和x₂₀₁₂相差6，
即x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂=6．
故答案為2，6．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．解決本題的關鍵是確定每個方程的根的特點．