Question

10．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置，連接C′B，則C′B的長為2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；證明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°；求出BM、C′M的長，即可解決問題

解答 解：如圖，連接BB′，延長BC′交AB′于點M；
由題意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′與△B′BC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC′=B′C′}\\{AB=B′B}\\{BC′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由題意得：AB²=16，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M=$\frac{1}{2}$AB′=2；由勾股定理可求：BM=2$\sqrt{3}$，
∴C′B=2$\sqrt{3}$-2，
故答案為：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關鍵，也是本題的難點．