Question

設雙曲線

y2

a2

-

x2

3

=1的兩個焦點分別為F₁、F₂，離心率為2．
（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分別為l₁、l₂上的點，且2|AB|=5|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用離心率為2，結合c²=a²+3，可求a，c的值，從而可求雙曲線方程，即可求得漸近線方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據A、B分別為l₁、l₂上的點，化簡可得軌跡方程及對應的曲線．

解答：解：（Ⅰ）∵e=2，∴c²=4a²
∵c²=a²+3，∴a=1，c=2
∴雙曲線方程為y2-

x2

3

=1，漸近線方程為y=±

3

3

x
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=

5

2

|F₁F₂|=

5

2

×2c=10，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10
∵y1=

3

3

x1，y2=-

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)
∴3×(2y)2+

1

3

×(2x)2=100
∴

x2

75

+

3y2

25

=1，對應的曲線為橢圓．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．