Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D，過點D作⊙O的切線交BC于E，AE交⊙O于點F．
（1）求證：E是BC的中點；
（2）求證：ADAC=AEAF=4DO2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，如下圖所示，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BD⊥AC，

又∵∠ABC=90°，

∴CB切⊙O于點B，且ED且⊙O于點E，

∴EB=ED，

∴∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，

∴∠CDE=∠C，

∴ED=EC，

∴EB=EC，

即點E是BC的中點

（2）證明：∵AB=2OD，

∴AB2=4OD2，

連接BF，

由上圖所示，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BF⊥AE，

∴△ABE∽△AFB，

∴ ，

∴AB2=AEAF，

同理可得，AB2=ADAC，

∴AB2=ADAC=AEAF，

即ADAC=AEAF=4DO2．

【解析】（1）要想證明E是BC的中點，只要證明CE=BE即可，根據已知條件可以得到DE=EC，DE=BE，從而本題得以解決；（2）根據題意可知AB=2OD，只要證明ADAC=AEAF=AB2即可，然后根據三角形相似可以證明結論成立，本題得以解決．
【考點精析】掌握切線的性質定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．