Question

已知正方形邊長為2，點M是AB中點，P為AM上一動點（P不與A、M重合）以BC為直徑作⊙O，過P作PE切⊙O于F，交CD于E。（如圖1）

（1）求四邊形APED的周長；
（2）求BP·CE的值；
（3）如圖2，延長DA、EP交于G，連結OF并延長交AD于H，若△EFO∽△HFG，試求PE的長。

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD，并且PE是圓的切線，
∴AB=AD=CD=2，AB⊥BC，CD⊥BC，
∴PB=PF，EC=EF，
∴四邊形APED周長=AP+PE+ED+AD=AP+PB+EC+DE+AD=AB+CD+AD=6；
（2）連結OP、OE，
∵PE是圓的切線，
∴OP平分∠BPE、OE平分∠CEP，
∵AB∥CD，
∴∠BPE+∠CEP=180°，
∴∠OPE+∠OEP=90°，即∠POE=90°，
∴△OBP∽△ECO，
∴，
∴PB·CE=OB·OC=1即：BP·CE=1；
（3）連結OP，
∵△EFO∽△HFG，
∴∠G=∠EOF=∠EOC，
∵AD∥BC，
∴∠GHO=∠COF=2∠EOF=2∠G，
又∵OH⊥EG，
∴∠G=∠EOF=∠EOC=30°，
可求得EC=EF=，BP=PF=，
∴PE=。