Question

【題目】已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）當OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；

（2）延長AO交BC于點H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設OH＝b，BH＝CH＝a，根據OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．

解：（1）連接OB、OC，

∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，

∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，

在△OAB和△OAC中，

，

∴△OAB≌△OAC（AAS），

∴AB＝AC

即△ABC是等腰三角形；

（2）延長AO交BC于點H，

∵AH平分∠BAC，AB＝AC，

∴AH⊥BC，BH＝CH，

設OH＝b，BH＝CH＝a，

∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，

則 　①

BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，

則 　②

②－①得：

把代入①得：（舍）

∴BC＝2a＝3．