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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A,B兩點,點Ax軸上,點B在直線x=3上,直線x=3x軸交于點C

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P從點A出發,以每秒個單位長度的速度沿線段AB向點B運動,點Q從點C出發,以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點A運動,點P,Q同時出發,當其中一點到達終點時,另一個點也隨之停止運動,設運動時間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點N在直線x=3上.

①當t為何值時,矩形PQNM的面積最小?并求出最小面積;

②直接寫出當t為何值時,恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)t=時,面積最小是t=2.

【解析】

1)利用待定系數法進行求解即可;

(2)①分別用t表示PE、PQ、EQ,用PQE∽△QNC表示NCQN,列出矩形PQNM面積與t的函數關系式問題可解;

②由①利用線段中點坐標分別等于兩個端點橫縱坐標平均分的數量關系,表示點M坐標,分別討論M、N、Q在拋物線上時的情況,并分別求出t值.

1)由已知,B點橫坐標為3,

A、By=x+1上,

A(﹣1,0),B(3,4),

A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得,

,解得:

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;

(2)①如圖,過點PPEx軸于點E,

∵直線y=x+1x軸夾角為45°,P點速度為每秒個單位長度,

t秒時點E坐標為(﹣1+t,0),Q點坐標為(3﹣2t,0),

EQ=4﹣3t,PE=t,

∵∠PQE+NQC=90°,

PQE+EPQ=90°,

∴∠EPQ=NQC,

∴△PQE∽△QNC,

∴矩形PQNM的面積S=PQNQ=2PQ2

PQ2=PE2+EQ2

S=2(2=20t2﹣48t+32,

t=時,

S最小=20×(2﹣48×+32=

②由①點Q坐標為(3﹣2t,0),P(﹣1+t,t),C(3,0),

∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QE=8﹣6t,

N點坐標為(3,8﹣6t),

由矩形對邊平行且相等,P(﹣1+t,t),Q (3﹣2t,0),

∴點M坐標為(3t﹣1,8﹣5t)

M在拋物線上時,則有

8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4,

解得t=

當點QA時,Q在拋物線上,此時t=2,

N在拋物線上時,8﹣6t=4,

t=

綜上所述當t=2時,矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

練習冊系列答案
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①如圖1,當點P在線段BD上運動時,請直接寫出線段DE和線段AQ的數量關系和位置關系;

②如圖2,當點P運動到線段BD的延長線上時,試判斷①中的結論是否成立,并說明理由;

(2)若∠ABC=2α≠60°,請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數量關系時,能使(1)中①的結論仍然成立(用含α的三角函數表示).

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