Question

【題目】如圖，等邊三角形中，，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E在直線上，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_____.

Answer 1

【答案】2或.

【解析】

分①在線段AC上，②在線段AC的延長(zhǎng)線上兩種情況討論.對(duì)于①作EF//AB與BC相交于F，證明△DFE∽△ABD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等可求得EC，即也可求得AE；對(duì)于②作EF//AB與BC的延長(zhǎng)線交于F，證明△DCE∽△ABD，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等可求得EC，即也可求得AE.

解：E點(diǎn)的位置有兩種可能，①在線段AC上，②在線段AC的延長(zhǎng)線上. E不可能在CA的延長(zhǎng)線上（因?yàn)槿?/span>E在CA的延長(zhǎng)線上由①可知不可能等于）.

①若E在線段AC上，如圖作EF//AB與BC相交于F，

∵為等邊三角形，，

∴AC=BC=AB=3，，

∴∠ABD=120°，

∵EF//AB，

∴，

∴△EFC為等邊三角形，∠EFD=120°，設(shè)EF=FC=EC=x.

∵，∠ABD=∠EFD=120°，

∴△DFE∽△ABD，

∴

∵，

∴

∴，解得

∴EF=FC=EC=1，

∴AE=AC-EC=3-1=2；

②若E點(diǎn)在線段AC的延長(zhǎng)線上，作EF//AB與BC的延長(zhǎng)線交于F.

與①同理可證△EFC為等邊三角形，∠ECD=120°，設(shè)EF=FC=EC=x.

∵，∠ABD=∠ECD=120°，

∴△DCE∽△ABD，

∴，

∵，

∴BD=BC+BD=4，

∴，解得，

∴EF=FC=EC=，

，

故答案為：2或.