Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是邊BC，邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，AE與BF相交于點(diǎn)P．若點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊CD上任意一點(diǎn)，則MN+PN的最小值等于_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q，取AB的中點(diǎn)H，連接PQ與CD交于點(diǎn)N'，連接PH，HQ，當(dāng)H、P、N'、Q四點(diǎn)共線時(shí)，MN+NP＝PQ的值最小，根據(jù)勾股定理HQ，再證明△ABE≌△BCF，進(jìn)而得△APB為直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)，求得PH，進(jìn)而求得PQ．

解：作M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q，取AB的中點(diǎn)H，連接PQ與CD交于點(diǎn)N'，連接PH，HQ，則MN'＝QN'，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠AEB＝∠BFC，

∵AB∥CD，

∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴PH＝，

∵M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

∴BM＝MC＝CQ＝，

∵PH+PQ≥HQ，

∴當(dāng)H、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PQ＝HQ＝ 的值最小，

∴PQ的最小值為，

此時(shí)，若N與N'重合時(shí)，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，

故答案為．