Question

（2006•遂寧）如圖，把正方形ACFG與Rt△ACB按如圖（甲）所示重疊在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB繞直角頂點C按順時針方向旋轉，使斜邊AB恰好經過正方形ACFG的頂點F，得△A′B′C′，A B分別與A′C，A′B′相交于D、E，如圖（乙）所示．
①△ACB至少旋轉多少度才能得到△A′B′C′？說明理由；
②求△ACB與△A′B′C′的重疊部分（即四邊形CDEF）的面積（若取近似值，則精確到0.1）？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，結合旋轉的性質：可得△A′CF是等邊三角形，進而可得∠ACA′=90°-60°=30°，故至少應旋轉30°；
（2）根據題意分別求得△A′DE的面積與△ABC的面積；觀察圖形分析可得四邊形DCFE的面積為：S_△A’CF-S_△A′DE，代入數據可得答案．
解答：解：（1）∵ACFG是正方形，A'B′經過點F，
∴A′C=CF．
又∵∠A′=60°，
∴△A′CF是等邊三角形．（2分）
∵∠A′CF=60°，
∴∠ACA′=90°-60°=30°．
∴△ABC至少旋轉30°才能得到△A′CB′．（5分）

（2）∵∠ACA′=30°，∠BAC=60°，
∴∠A′DE=90°．
又∵AC=2，
可求得CD=，A′D=2-．（6分）
在Rt△A′DE中，
DE=A′Dtan60°=（2-）•=2-3．
∴△A′DE的面積為：A′D•DE=（2-）•（2-3）=．（8分）
又∵A'B′=4，A′F=2，
∴F是A'B′的中點．
∴△A′CF的面積=△ABC的面積．
而B′C=A′C•tan60°=2，
∴S_△ABC=×2×2=2，S_△A’CF=，
∴四邊形DCFE的面積為：-（）=-+6=6-．（10分）
（若取近似值，則結果應約為1.7．）
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．