Question

已知P（0，6），過P點的直線交雙曲線y=

m

x

于A、B兩點，點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為2，直線AO交雙曲線y=

m

x

于另一點C，連結BC交y軸于Q，
（1）求m的值；  
（2）求

PA

PB

+

QB

QC

的值；   
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）設直線AP是關系式是y=ax+6（a≠0）．由題設可設A（4，t），B（2，p）；然后根據一次函數圖象上點的坐標特征列出關于m、a、t、p的方程組，通過解方程組即可求得m的值；
（2）根據雙曲線的中心對稱性知，點C與點A關于原點對稱，則C（-4，-2）．利用待定系數法求得直線BC的關系式，從而得知點Q的坐標；然后由兩點間的距離公式求得所求代數式中相關線段的長度；
（3）根據直線AP、BC的解析式可以推知BC⊥AP，所以根據直角三角形的面積公式來求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵P（0，6），點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為2，
∴設直線AP是關系式是y=ax+6（a≠0），設A（4，t），B（2，p）．
又∵點A、B在雙曲線y=

m

x

上，點A、B在直線AP上，
∴

t= m 4 p= m 2 t=4a+6 p=2a+6

，
解得

t=2 p=4 a=-1 m=8

．
∴m的值是8；

（2）由（1）可知A（4，2），B（2，4）．
根據雙曲線的中心對稱性知，點C與點A關于原點對稱，則C（-4，-2）．
易求直線BC的解析式是y=x+2，則Q（0，2）．
∴QB=2

2

，QC=4

2

．
∵P（0，6），
∴PA=4

2

，PB=2

2

．
∴

PA

PB

+

QB

QC

=

4 2

2 2

+

2 2

4 2

=

5

2

；

（3）∵直線BC的解析式是y=x+2，直線AP是關系式是y=-x+6，
∴BC⊥AP，
又∵A（4，2），B（2，4），C（-4，-2），
∴AB=2

2

，BC=4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2

2

×4

5

=4

10

，即△ABC的面積是4

10

．

點評：本題綜合考查了兩點間的距離公式，一次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數、反比例函數解析式．解答該題的技巧性在于根據反比例函數圖象的中心對稱性求得點C的坐標．