Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．
（2）如圖1，求AF的長．
（3）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，點P的速度為每秒1cm，設運動時間為t秒．
①問在運動的過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度；若不可能，請說明理由．
②若點Q的速度為每秒0.8cm，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴AO=OC，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中
∵，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）解：設AF=acm，
∵四邊形AECF是菱形，
∴AF=CF=acm，
∵BC=8cm，
∴BF=（8-a）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：4²+（8-a）²=a²，
a=5，
即AF=5cm；

（3）解：①在運動過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，
只有當P運動到B點，Q運動到D點時，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，
P點運動的時間是：（5+3）÷1=8，
Q的速度是：4÷8=0.5，
即Q的速度是0.5cm/s；
②分為三種情況：第一、P在AF上，
∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，
∴Q只能再CD上，此時當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；
第二、當P在BF上時，Q在CD或DE上，只有當Q在DE上時，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形才有可能是平行四邊形，如圖，
∵AQ=8-（0.8t-4），CP=5+（t-5），
∴8-（0.8t-4）=5+（t-5），
t=，
第三情況：當P在AB上時，Q在DE或CE上，此時當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；
即t=．
分析：（1）證△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根據平行四邊形和菱形的判定推出即可；
（2）設AF=CF=a，根據勾股定理得出關于a的方程，求出即可；
（3）①只有當P運動到B點，Q運動到D點時，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，求出時間t，即可求出答案；②分為三種情況，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根據平行四邊形的性質求出即可．
點評：本題考查了矩形的性質，平行四邊形的性質和判定，菱形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定，線段垂直平分線性質等知識點的綜合運用，用了方程思想，分類討論思想．