Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，⊙M的圓心M在y軸上，⊙M與x軸交于點A、B，與y軸交于點C、D，過點A作⊙M的切線AP交y軸于點P，若點C的坐標為（0，2），點A的坐標為（-4，0），

（1）求證：∠PAC＝∠CAO；

（2）求直線PA的解析式；

（3）若點Q為⊙M上任意一點，連接OQ、PQ，問的比值是否發生變化？若不變求出此值；若變化，說明變化規律．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）連接MA，如圖1，由PA是⊙M的切線得∠PAC+∠MAC=90°；由MA=MC得∠MCA=∠MAC，又∠OAC+∠MCA=90°，易證∠PAC=∠OAC；

（2）如圖1，由于點A的坐標已知，要求直線PA的解析式，只需求出點P的坐標，只需求出OP的長，易證△AOM∽△PAM，根據相似三角形的性質可求出MP，從而可求出OP，問題得以解決；

（3）連接MQ，如圖2，由于MA=MQ，結合（2）中已證的結論，由此可證到△MOQ∽△MQP，然后運用相似三角形的性質即可解決問題．

（1）連接MA，如圖1，

∵PA是⊙M的切線，

∴AM⊥AP，

∴∠PAC+∠MAC=90°，

∵MA=MC，

∴∠MCA=∠MAC，

∵∠OAC+∠MCA=90°，

∴∠PAC=∠OAC；

（2）如圖1，

∵∠AMO=∠PMA，∠AOM=∠PAM=90°，

∴△AOM∽△PAM，

∴，

∴MA2=MOMP．

設AM=R，

∵A（-4，0），C（0，2），

∴OA=4,OC=2

在Rt△AOM中，

∵OA=4，OM=R-2，

由AM2=OM2+AO2得，R2=(R-2)2+42

解得，R=5，即AM=5，

∴OM=5-2=3．

∴25=3MP，

∴MP=，

∴OP=MP-OM=-3=，

∴點P的坐標為（0，），

設直線PA的解析式為y=kx+b，

則有，

解得，

∴直線PA的解析式為y=x+；

（3）連接MQ，如圖2，

∵（（2）中已證），MA=MQ，

∴，

∵∠QMO=∠PMQ，

∴△MOQ∽△MQP，

∴，

∴不變，等于．