Question

（2012•遼陽）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據正方形的性質可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，從而得證；②根據全等三角形對應邊相等可得BD=CF，從而求出CF=BC-CD；
（2）與（1）同理可得BD=CF，然后結合圖形可得CF=BC+CD；
（3）①與（1）同理可得BD=CF，然后結合圖形可得CF=CD-BC；②根據等腰直角三角形的性質求出∠ABC=∠ACB=45°，再根據鄰補角的定義求出∠ABD=135°，再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=

1

2

DF，再根據正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．

解答：（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，
∴CF=BC-CD；

（2）與（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；

（3）①與（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD-BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
則∠ABD=180°-45°=135°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
則△FCD為直角三角形，
∵正方形ADEF中，O為DF中點，
∴OC=

1

2

DF，
∵在正方形ADEF中，OA=

1

2

AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性質，此類題目通常都是用同一種思路求解，在（1）中找出證明三角形全等的思路是解題的關鍵．