Question

如圖，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D為底邊AC中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=12，FC=5，
（1）試說明DE=DF；
（2）求EF長．

Answer 1

分析：（1）連結BD，根據等腰三角形的性質可以得出∠ABD=∠CBD=45°，再證明△BED≌△CFD就可以得出結論；
（2）由△BED≌△CFD可以得出BE=CF，就可以求出BF的值，在Rt△BEF中，由勾股定理就可以求出結論．

解答：解：（1）證明：連結BD，
∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵D是AC的中點，
∴BD=AD=CD=

1

2

AC，∠ABD=∠CBD=45°，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠C，∠BDC=90°，
即∠CDF+∠BDF=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°．
即∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF．
在△BED和△CFD中

∠ABD=∠C BD=CD ∠EDB=∠CDF

，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴DE=DF．
（2）∵△BED≌△CFD，
∴BE=CF．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AE+CF．
∵AE=12，FC=5，
∴AB=17，
∴BF=12．
在Rt△EBF中，由勾股定理，得
EF=13．
答：EF=13．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．