Question

已知如圖（1），⊙O的直徑AB=12cm，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）設AD=m，BC=n，若m、n是方程2x²-30x+a=0的兩個根，求m、n．
（2）如圖（2），連接OD、BE，求證：OD∥BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖（1），通過作輔助線DF（過D作DF⊥CB，交CB于點F）構建矩形ADFB．根據切線長定理得到BF=AD=m，CE=CB=m，則DC=DE+CE=n+m，CF=CB-FB=n-m；然后在直角△DFC中根據勾股定理求得
CD²=DF²+CF²，由此可以求得mn=36；最后由根與系數的關系求得a的值，通過解一元二次方程即可求得m、n的值；
（2）連接OE，由于AM、DE是⊙O的切線，∠OAD=∠OED=90°，那么DA=DE，而OD=OD，于是可證△AOD≌△EOD，從而有∠AOD=∠EOD=∠AOE，根據圓周角定理有∠ABE=∠AOE，那么同位角∠AOD=∠ABE，則OD∥BE．
解答：解：（1）如圖（1），過D作DF⊥CB，交CB于點F．
∵DA與DC都為⊙O的切線，
∴DA=DE，
又CB與CE都為⊙O的切線，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DA=FB，DF=AB；
∵AD=m，BC=n，AB=12cm，
∴CD=CE+ED=DA+CB=m+n，DF=AB=12cm，CF=CB-FB=n-m，
在Rt△DFC中，根據勾股定理得：CD²=DF²+CF²，
即（m+n）²=12²+（n-m）²，
化簡得：mn=36；
∵m、n是方程2x²-30x+a=0的兩個根，
∴根據韋達定理知，mn=，即a=72；
∴原方程為x²-15x+36=0，解得，
；
∵m＜n，
∴；

（2）證明：如圖（2），連接OE．
∵AM、DE是⊙O的切線，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE（全等三角形的對應角相等），
∵∠ABE=∠AOE（同弧所對的圓周角是圓心角的一半），
∴∠AOD=∠ABE（等量代換），
∴OD∥BE（同位角相等，兩直線平行）．
點評：本題考查了圓的綜合題．此題綜合運用了切線定理、韋達定理、解一元二次方程、全等三角形的判定與性質以及平行線的判定與性質等知識點．