Question

已知如圖，△ABC中，AC=BC，BC與x軸平行，點A在x軸上，點C在y軸上，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點，
（1）求出該拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+7將四邊形ACBD面積平分，求此直線的解析式；
（3）若直線y=kx+b將四邊形ACBD的周長和面積同時分成相等的兩部分，請你確定y=kx+b中k的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知拋物線，利用對稱軸公式代入數(shù)據(jù)即可得出對稱軸，同時也可以得出C點的坐標，利用AC=BC，即可得出A點的坐標和B點的坐標，代入拋物線方程即可得出a的值，即得出該拋物線的解析式；
（2）結(jié)合題意，可知直線一定經(jīng)過OB的中點P．又已知P點的坐標，代入直線方程，即可得出k的值，從而得出直線的方程；
（3）同（2）；

解答：解：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為：x=-

-5a

2a

=

5

2

，
與y軸交點為c（0，4）
∴A（-3，0）；B（5，4）．（1分）
把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4得：9a+15a+4=0（2分）
解之得：a=-

1

6

∴y=-

1

6

x2+

5

6

x+4；（3分）

（2）直線y=kx+7將四邊形ACBD面積平分，則直線一定經(jīng)過OB的中點P．
根據(jù)題意可求P點坐標為（

5

2

，2）（4分）
把P（

5

2

，2）代入y=kx+7得：k=-2，
∴直線的解析式為：y=-2x+7；（5分）

（3）k≤-

4

5

或k≥

4

5

．（7分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．