Question

如圖，已知：A、B分別是x軸上位于原點左、右兩側的點，點P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點C（0，2），直線PB交y軸于點D，此時，S_△AOP=6．
（1）求P的值；
（2）若S_△BOP=S_△DOP，求直線BD的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，則PF=2．求出S_△COP和S_△COA，即

1

2

OA×2=4，則A（-4，0），則|p|=3，由點P在第一象限，得p=3；
（2）根據S_△BOP=S_△DOP，得DP=BP，即P為BD的中點，作PE⊥x軸，設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），求得k，b．得出直線BD的函數解析式．

解答：解：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，則PF=2．
∵C（0，2），
∴CO=2．
∴S_△COP=

1

2

×2×2=2．
∵S_△AOP=6，S_△COP=2，
∴S_△COA=4，
∴

1

2

OA×2=4
∴OA=4，
∴A（-4，0），
∴S_△AOP=

1

2

×4|p|=6，
∴|p|=3
∵點P在第一象限，
∴p=3；

（2）過點O作OH⊥BD，則OH為△BOP△DOP的高，
∵S_△BOP=S_△DOP，且這兩個三角形同高，
∴DP=BP，即P為BD的中點，
作PE⊥x軸于點E（2，0），F（0，3）．
∴OB=2PF=4，OD=2PE=6，
∴B（4，0），D（0，6）．
設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），則

4k+b=0 b=6

，
解得k=-

3

2

，b=6．
∴直線BD的函數解析式為y=-

3

2

x+6．

點評：本題考查了用待定系數法求一次函數的解析式，三角形面積的求法以及相交線、平行線的性質．