Question

17．如圖，在△ABC中，DE∥AB，$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，AB=3，S_△ABC=6，則下面五個結論：
①DE=$\frac{3}{2}$；②△CDE∽△CAB；③DE與AB之間的距離為$\frac{8}{3}$；④△CDE的面積與四邊形ABED的面積之比為1：9；⑤若△ABC的周長為10，則四邊形ABED的周長為$\frac{26}{3}$．
其中正確的有②③⑤（直接填序號）．

Answer 1

分析 由已知條件得到$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}$，根據DE∥AB，于是得到△CDE∽△ABC，故②正確；根據相似三角形的性質得到$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$，求得DE=1，故①錯誤；過C作CM⊥AB于M，交DE于N，則CN⊥DE，由于△CDE∽△ABC，根據相似三角形的性質得到$\frac{CN}{CM}=\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDE}}{{{S}_{△}}_{CAB}}$=（$\frac{CD}{CA}$）²=$\frac{1}{9}$，于是得到△CDE的面積與四邊形ABED的面積之比為1：8，故④錯誤；根據三角形的面積公式得到CM=4，CN=$\frac{4}{3}$，求得MN=CM-CN=$\frac{8}{3}$，于是得到DE與AB之間的距離為$\frac{8}{3}$，故③正確；根據相似三角形的性質得到△CDE的周長為$\frac{10}{3}$，求得CD+CE=$\frac{10}{3}$-1=$\frac{7}{3}$，于是得到四邊形ABED的周長=△ABC的周長-（CD+CE）+DE=$\frac{26}{3}$，故⑤正確．

解答 解：∵$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}$，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△ABC，故②正確；
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$，∵AB=3，
∴DE=1，故①錯誤；
過C作CM⊥AB于M，交DE于N，則CN⊥DE，
∵△CDE∽△ABC，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△CDE}}{{{S}_{△}}_{CAB}}$=（$\frac{CD}{CA}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴△CDE的面積與四邊形ABED的面積之比為1：8，故④錯誤；
∵AB=3，S_△ABC=6，
∴CM=4，CN=$\frac{4}{3}$，
∴MN=CM-CN=$\frac{8}{3}$，
∴DE與AB之間的距離為$\frac{8}{3}$，故③正確；
∵△ABC的周長為10，
∴△CDE的周長為$\frac{10}{3}$，
∴CD+CE=$\frac{10}{3}$-1=$\frac{7}{3}$，
∴四邊形ABED的周長=△ABC的周長-（CD+CE）+DE=$\frac{26}{3}$，故⑤正確，
故答案為：②③⑤，

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．