Question

如圖，過A（8，0）、B（0，）兩點的直線與直線交于點C、平行于y軸的直線l從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點時停止；l分別交線段BC、OC于點D、E，以DE為邊向左側作等邊△DEF，設△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線l的運動時間為t（秒）．
（1）直接寫出C點坐標和t的取值范圍；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）設直線l與x軸交于點P，是否存在這樣的點P，使得以P、O、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設AB的解析式為y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，）分別代入解析式得，
，
解得k=-，
則函數解析式為y=-x+8．
將y=-x+8和y=x組成方程組得，
，
解得．
故得C（4，），
∴t的取值范圍是：0≤t≤4；

（2）作EM⊥y軸于M，DG⊥y軸于點G，
∵D點的坐標是（t，），E的坐標是（t，）
∴DE=-=；
∴等邊△DEF的DE邊上的高為：DE=12-3t；
根據E點的坐標（t，），以及∠MNE=60°，
故ME=t，MN=tan30°ME=t，
同理可得：GH=t，
∴可求梯形上底為：-，
∴當點F在BO邊上時：12-3t=t，
∴t=3，
當0≤t＜3時，重疊部分為等腰梯形，可求梯形面積為：
S=
=
=；
當3≤t≤4時，重疊部分為等邊三角形
S=
=；

（3）存在，P（，0）；
說明：∵FO≥，FP≥，OP≤4，△DEF是等邊三角形，
∴以P，O，F為頂點的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP，
若FO=FP時，t=2（12-3t），
解得：t=，
∴P（，0）．
分析：（1）要求C點的坐標，應先根據題意得出直線AB的方程，再與y=聯立，得出的交點的坐標即為C點的坐標．而t的取值范圍的最大值只要用C點橫坐標除以1即可．
（2）解此題時可設D、E兩點的橫坐標為t，再根據l與AB、y=兩條直線相交即可得出D、E關于t的坐標．再根據等邊三角形各個角均為60°，做DE邊上的高，運用勾股定理即可得出高的長度（關于t）．再分別討論t的取值，畫出圖形，代入各自對應的面積公式，化簡后即可得出S關于t的方程．
（3）要使△FOP為等腰三角形，則腰只能是OF、FP，由此只要設出P、F兩點的坐標，根據兩點之間的坐標公式，得出關于t的代數式，令OF=FP，結合t的取值，即可得出答案．
點評：本題是一個綜合題，主要考查了一次函數的性質，等邊三角形的性質，以及規則圖形的面積計算．在解本題時要注意討論t的取值范圍．