Question

如圖，過⊙O上一點A的切線AC與⊙O直徑BD的延長線交于點C，過A作AE⊥BC于點E．
（1）求證：∠CAE=2∠B；
（2）已知：AC=8，且CD=4，求⊙O的半徑及線段AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由切線的性質知：OA⊥AC，即∠OAC=90°，在Rt△OAC中，易證得∠CAE=∠AOE；而∠AOE是等腰△AOB的外角，即∠AOE=2∠B，等量代換后即可得出要證的結論；
（2）由切割線定理，易求得CB的長；即可求出BD和半徑的長，Rt△CAO中，OA、OC的長已知，由勾股定理可求得AC的長，然后根據直角三角形面積的不同表示方程，即可求出AE的值．

解答：（1）證明：連接OA，
∵CA切⊙O于點A，
∴∠OAC=90°，即：∠CAE+∠1=90°．
又AE⊥BC，
∴∠2+∠1=90°．
∴∠CAE=∠2．
又OA=OB，
∴∠3=∠B，
∴∠2=2∠B，
∴∠CAE=2∠B．

（2）∵AC是⊙O的切線，
∴CA²=CD•CB．
∴CB=

CA2

CD

=

82

4

=16．
∴⊙O的半徑OB=

BC-CD

2

=6．
Rt△ACO中，CO=CD+DO=10，OA=6，
由勾股定理，得：AC=

OC2-OA2

=8．
又S_△ACO=

1

2

AC•AO=

1

2

CO•AE．
∴AE=

AC×AO

CO

=

8×6

10

=4.8．

點評：本題主要考查了切線的性質及切割線定理，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．