Question

已知如圖，過O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0）、交y軸的負半軸于點D，弧OBM與弧OAM關于x軸對稱，其中A、B、C是過點P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點．
（1）當m=4時，
①填空：B的坐標為

 

，C的坐標為

 

，D的坐標為

 

；
②若以B為頂點且過D的拋物線交⊙P于點E，求此拋物線的函數關系式和寫出點E的坐標；
③除D點外，直線AD與②中的拋物線有無其它公共點并說明理由．
（2）是否存在實數m，使得以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①可連接OP，PM，設AC與OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐標分別為（4，2），（4，-2），（4，-8）．同理過P作OD的垂線，根據垂徑定理即可得出OD=2PN=6，因此D點的坐標為（0，-6）．
②可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將D點的坐標代入即可求出拋物線的解析式．根據圓和拋物線的對稱性可知：E點和D點關于拋物線的對稱軸x=4對稱，因此根據D的坐標即可求出E點的坐標．
③可用待定系數法求出直線AD的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可判斷出直線AD與拋物線是否有另外的交點．
（2）如果以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直平分，如果設BC，DE的交點為F，那么BF=CF，可用A點的縱坐標即AN的長表示出BF和CF由此可求出A點的縱坐標，進而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②設拋物線的解析式為y=a（x-4）²-2，已知拋物線過D點，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

．
拋物線的函數關系式為：y=-

1

4

（x-4）²-2．
根據對稱可知：E（8，-6）
③直線AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-

1

4

（x-4）²-2，
整理得：x²=0，得x₁=x₂=0
∴除D點外，直線AD與②中的拋物線無其它公共點．

（2）設A（m，h），則B的坐標為（m，-h），C的坐標為（m，h-10）．
假設以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，
設DE與BC相交于點F，
∵OM=DE，OM∥DE，AC⊥OM，
∴CF=

1

2

AB，即BF=CF=

1

2

AB．
∴10-3h=h，
即h=

5

2

∴AB=5
∴B、P兩點重合
∴m=

OP2-h2

=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．