Question

學校要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示）．若設花園的BC邊長為x（m），花園的面積為y（m²）．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）滿足條件的花園面積能達到200m²嗎？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由；
（3）當x取何值時，花園的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

分析：（1）已知矩形的長和周長可表示寬，運用公式表示面積，根據墻寬得x的取值范圍；
（2）求當y=200時x的值，根據自變量的取值范圍回答問題；
（3）根據函數關系式運用性質求最值．

解答：解：（1）根據題意得：y=x

(40-x)

2

（2分）
∴y=-

1

2

x2+20x(0＜x≤15)（4分）

（2）當y=200時，即-

1

2

x2+20x=200（5分）
∴x²-40x+400=0，
解得：x₁=x₂=20＞15（7分）
∵0＜x≤15，
∴此花園的面積不能達到200m²（8分）

（3）y=-

1

2

x2+20x的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=20．
∴當0＜x≤15時，y隨x的增大而增大（9分）
∴當x=15時，y有最大值（10分）
y最大值=-

1

2

×152+20×15=187.5（m²）（11分）
即：當x=15時，花園面積最大，最大面積為187.5m²．（12分）

點評：實際問題往往是有限制條件的，列出的表達式需考慮自變量的取值范圍，運用函數性質解題時更要注意這點．