Question

已知：拋物線y=x²+（b-1）x-5．
（1）寫出拋物線的開口方向和它與y軸交點的坐標；
（2）若拋物線的對稱軸為直線x=1，求b的值，并畫出拋物線的草圖（不必列表）；
（3）如圖，若b＞3，過拋物線上一點P（-1，c）作直線PA⊥y軸，垂足為A，交拋物線于另一點B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應的二次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a值大于0，判斷拋物線的開口向上，令x=0求出函數值y，就是拋物線與y軸的交點坐標；
（2）根據對稱軸解析式列式求出b的值，從而得到拋物線解析式，再根據拋物線與坐標軸的交點與頂點坐標作出草圖即可；
（3）先根據b＞3判斷出點P在對稱軸的左側，然后根據BP=2PA求出點B的坐標，然后把點P、B的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求出b、c的值，即可寫出該拋物線對應的二次函數解析式．[或者根據點BP的中點在拋物線的對稱軸上，利用對稱軸解析式列式進行計算求解b的值．]
解答：解：（1）∵a=1＞0，
∴拋物線開口向上，
當x=0時，y=0²+（b-1）×0-5=-5，
∴它與y軸的交點坐標為（0，-5）；

（2）拋物線的對稱軸為x=1，
∴-=-=1，
解得b=-1，
故拋物線的解析式為y=x²-2x-5；
圖象如右；

（3）∵b＞3，
∴拋物線的對稱軸x=-=-＜-1，
∴對稱軸在點P的左側，
∵直線PA⊥y軸，且P（-1，c），BP=2PA，
∴點B的坐標為（-3，c），
把點B（-3，c）、P（-1，c）代入拋物線解析式y=x²+（b-1）x-5得，
，
解得，
∴拋物線所對應的二次函數解析式為y=x²+4x-5；
[或：∵點B（-3，c）、P（-1，c），
∴BP的中點（-2，c）在拋物線的對稱軸上，
∴-=-=-2，解得b=5．]
點評：本題是對二次函數的綜合考查，拋物線的開口方向，與坐標軸的交點的求解，以及待定系數法求二次函數解析式，綜合性題目但難度不大，只要仔細分析，認真計算便不難求解．