Question

已知方程組

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有兩個不相等的實數解，
（1）求k的取值范圍；  
（2）若方程組的兩個實數解為

x=x1 y=y1

 和

x=x2 y=y2

，求出使得x₁+x₁x₂+x₂=1的k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程組

y2=2x(1) y=kx+1 (2)

有兩個不相等的實數解，首先通過消元得到一個關于x或y的方程，然后利用判別式是正數即可求解；
（2）由于方程組有兩個不相等的實數解，一由此得到x₁，x₂是k²x²+（2k-2）x+1=0式的兩個根，然后利用根與系數的關系即可求解．

解答：解：（1）將②代入①整理，得k²x²+（2k-2）x+1=0（*）（2分），
∵方程組有兩個不相等的實數解，即（*）式有兩個不相等的根，
∴△＞0
由△=（2k-2）²-4k²＞0?k＜

1

2

，（2分）
又因為（*）式有兩個不相等的根，k≠0，
∴k＜

1

2

且k≠0（1分）；

（2）∵方程組有兩個不相等的實數解，
∴x₁，x₂是（*）式的兩個根，
∴有x1+x2=-

2k-2

k2

，x1•x2=

1

k2

（2分），
由題意得-

2k-2

k2

+

1

k2

=1（1分），
∴k=-3或k=1（1分）
∵k＜

1

2

，
∴k=1舍去，k=-3為所求．（1分）

點評：此題主要考查了二元二次方程組的解的討論及利用方程的解求代數式的值，首先利用判別式即可確定k值，然后利用根與系數的關系即可求出字母的值．