Question

【題目】某數學小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的性質時，做了如下探究：

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B，C重合)，

以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．

(1).如圖1，當點D在線段BC上時，

①.BC與CF的位置關系為：________________________________．

②.BC，CD，CF之間的數量關系為：_______________________________.

(2).如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，

請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．

(3).如圖3，將圖2中的 AB＝AC改變成AB＝kAC，正方形ADEF改成矩形ADEF，且AD=kAF,其它條件不變 ，猜想線段BD與CF之間的關系，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①BC與CF的位置關系為：BC⊥CF ；②BC，CD，CF之間的數量關系為：BC=CF+CD，證明見解析；(2)結論①成立，②不成立，BC，CD，CF之間的數量關系為BC=CD-CF或CD=BC+CF，證明見解析；(3).數量關系BD=kCF，位置關系BC⊥CF，證明見解析.

【解析】

（1）利用正方形邊相等，等腰三角形，證明ABD 和 AFC全等，再證明∠FCB=90°；

（2）解題方法參考（1）；

（3）參考（1）題原理，證明ABD 和 AFC相似，可以證明BD=kCF，

解：（1）AB＝AC，AD=AF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

∠ABD=∠ACF.

.

BC⊥CF

C=BC+CF.

（2）AB＝AC，AD=AF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

∠ADB=∠AFC.

. BC⊥CF

結論①成立，②不成立，

CD=BC+CF.

（3）AB＝kAC，AD=kAF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

BD=kCF.

∠ADB=∠AFC.

.

BC⊥CF.