Question

如圖，△AOB的頂點A、B在二次函數的圖象上，又點A、B分別在y軸和x軸上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）過點A作AC∥BO交上述函數圖象于點C，點P在上述函數圖象上，當△POC與△ABO相似時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據函數解析式求出A的坐標，然后得到AO的長度，接著利用三角函數的定義求出BO的長度，也就得到B的坐標，最后代入解析式即可求出函數的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函數圖象于點C可以求出C的坐標，接著得到AC、AO、OC的長度，由此也可以求出b的值，根據拋物線的對稱性可以求出拋物線與x軸的另一交點為D的坐標，從而得到CD的長度，接著利用勾股定理的逆定理證明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐標．
解答：解：（1）∵點A在二次函數的圖象上，…（1分）
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵，
∵，
∴…（1分）
∵點B在二次函數的圖象上
∴
∴…（1分）
∴…（1分）

（2）∵AC∥BO交上述函數圖象于點C，
∴設…（1分）
∴，
解得，
∵…（1分）
∴，
根據勾股定理得：，
設拋物線與x軸的另一交點為D，
可得，D（3，0）…（1分）
∴根據兩點間的距離公式得：，又OD=3，OC=，
∴OC²+CD²=OD²，∴∠OCD=90°…（1分）
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…（2分）
此時D，P重合，A與P重合，
∴或P（3，0）…（2分）．
點評：此題是二次函數的綜合題，分別考查了待定系數法確定函數解析式、相似三角形的判定與性質及三角函數的定義，對于學生綜合分析問題的能力要求比較高，平時要加強訓練．