Question

如圖，在邊長為10的正方形ABCD中，內接六個大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的頂點．則這六個小正方形的面積和是

 

．

Answer 1

分析：如圖，過點Q作QF⊥AD，垂足為F，可以得到△BQP∽△FQN，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例的性質列式求解即可得到QB和DN，根據(jù)勾股定理可求QN的長，從而求出六個小正方形的面積和．

解答：解：如圖所示：
∵正方形ABCD邊長為10，
∴∠A=∠B=90°，AB=10，
過點Q作QF⊥AD，垂足為F，則∠4=∠5=90°，
∴四邊形AFQB是矩形，
∴∠2+∠3=90°，QF=AB=10，
∵六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠PQB，
∴△BQP∽△FQN，
∴

QB

QF

=

QP

QN

=

1

5

，
∴

QB

10

=

1

5

，
∴QB=2．
∴AF=2．
同理DN=2．
∴NF=AD-DN-AF=6．
∴QN=

QF2+FN2

=

102+62

=2

34

，
∴小正方形的邊長為

2 34

5

，
則六個小正方形的面積和是6×（

2 34

5

）²=

816

25

．
故答案為：

816

25

．

點評：考查了面積及等積變換，本題主要利用相似三角形的判定和相似三角形對應邊成比例的性質和勾股定理，綜合性較強，有一定的難度．