Question

【題目】如圖，已知中，，，．如果點由出發沿方向點勻速運動，同時點由出發沿方向向點勻速運動，它們的速度均為．連接，設運動的時間為（單位：）．解答下列問題：

當為何值時平行于；

當為何值時，與相似？

是否存在某時刻，使線段恰好把的周長平分？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

是否存在某時刻，使線段恰好把的面積平分？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時； 當為或時和相似； 不存在．理由見解析； 存在，當時，線段恰好把的面積平分．

【解析】

（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，當PQ∥BC時，可得=，代入可得到關于t的方程，可求得t；

（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到對應線段的比相等，可得到關于t的方程，代入分別求得t即可；

（3）周長相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到關于t的方程，可求得t的值；

（4）過P作PD⊥AC于點D，則PD∥BC，則=，可用t表示出PD，進一步可表示出其面積，令其為△ABC面積的一半即可，可求出t的值，注意結合t的取值范圍進行取舍．

解:∵，，，

∴，

∵、的運動速度為，

∴，則，

當時，則，即，解得，

即當時；

∵為直角三角形，

∴當和相似時，必有一個角為直角，

當時，則，由可知，

當時，則，即，解得，

∴當為或時和相似；

不存在．理由如下：

當線段恰好把的周長平分時，則有，

即，整理得，顯然不成立，

∴不存在使把周長平分的；

存在．

如圖，過作于點，則，

∴，即，解得，

∴，

且，

當線段恰好把的面積平分時，則有，

即，整理可得，

解得（舍去）或，

∴當時，線段恰好把的面積平分．