Question

已知：△ABC，射線BE、CF分別平分∠ABC和∠ACB，且BE、CF相交于點O．
（1）求證：∠BOC=90°+∠A；
（2）若將條件“CF平分∠ACB”改為“CF平分與∠ACB相鄰的外角”，其它條件不變．試問（1）中的結論是否仍成立？若成立說明理由；若不成立，請找出∠BOC與∠A的關系并予證明．

Answer 1

（1）證明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A．
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A．

（2）解：（1）中的結論不成立．
∠B0C=∠A．
證明：∵∠ACD是△ABC的外角，
∠ACD=∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACD，
∴∠EBD=∠ABC，∠FCD=∠ACD．
∴∠FCD=∠EBD+∠A．
∴∠FCD=∠EBD+∠BOC．
∴∠BOC=∠A．
分析：（1）根據三角形的內角和定理以及角平分線的定義進行證明；
（2）根據三角形的外角的性質以及角平分線的定義進行證明．
點評：解答此題的關鍵是畫圖，并熟練運用角平分線的性質、三角形的內角和定理及其推論進行證明探索，要熟記這些結論，便于簡便計算．