Question

已知：△ABC，射線BE、CF分別平分∠ABC和∠ACB，且BE、CF相交于點O．
（1）求證：∠BOC=90°+

1

2

∠A；
（2）若將條件“CF平分∠ACB”改為“CF平分與∠ACB相鄰的外角”，其它條件不變．試問（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立說明理由；若不成立，請找出∠BOC與∠A的關(guān)系并予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義進行證明；
（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及角平分線的定義進行證明．

解答：（1）證明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB．
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A．
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A．

（2）解：（1）中的結(jié)論不成立．
∠B0C=

1

2

∠A．
證明：∵∠ACD是△ABC的外角，
∠ACD=∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACD，
∴∠EBD=

1

2

∠ABC，∠FCD=

1

2

∠ACD．
∴∠FCD=∠EBD+

1

2

∠A．
∴∠FCD=∠EBD+∠BOC．
∴∠BOC=

1

2

∠A．

點評：解答此題的關(guān)鍵是畫圖，并熟練運用角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論進行證明探索，要熟記這些結(jié)論，便于簡便計算．