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如圖,E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)是CD上一點(diǎn),DF=3CF.

求證:AE⊥EF.

答案:
解析:

  證明:連結(jié)AF.

  設(shè)CF=x,則DF=3x,CD=4x.

  ∵E是BC的中點(diǎn),

  ∴AB=4x,BE=EC=2x.

  在Rt△ABE中,

  AE2=AB2+BE2=16x2+4x2=20x2

  在Rt△ADF中,(勾股定理)

  AF2=AD2+DF2=16x2+9x2=25x2

  在Rt△ECF中,

  EF2=EC2+CF2=4x2+x2=5x2

  ∴AE2+EF2=20x2+5x2=25x2=AF2

  ∴△AEF是直角三角形,且∠AEF=

  即AE⊥EF.(勾股定理的逆定理,常用來(lái)證明線段垂直)


提示:

點(diǎn)評(píng):此題是勾股定理逆定理的典型應(yīng)用,通過(guò)“計(jì)算”的方法,“算”出兩條直線互相垂直.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn),EF⊥AB,EG⊥BC,F(xiàn)、G是垂足,若正方形ABCD周長(zhǎng)為a,則EF+EG等于(  )
A、
1
4
a
B、
1
2
a
C、a
D、2a

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),PN⊥AC于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M,CG⊥AB于點(diǎn)G點(diǎn).
(1)則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是
 

(2)如圖②,若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請(qǐng)說(shuō)明理由,若沒(méi)有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖③,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,AE=AB,點(diǎn)P是BE上任一點(diǎn),PN⊥AB于點(diǎn)N,PM⊥AC于點(diǎn)M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

22、如圖,ABCD是正方形,P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作直線EF、GH分別平行于AB、BC,交兩組對(duì)邊于E、F、G、H,則四邊形PEDG,四邊形PHBF都是正方形,四邊形PEAH、四邊形PGCF都是矩形,設(shè)正方形PEDG的邊長(zhǎng)是a,正方形PHBF的邊長(zhǎng)是b. 請(qǐng)動(dòng)手實(shí)踐并得出結(jié)論:
(1)請(qǐng)你動(dòng)手測(cè)量一些線段的長(zhǎng)后,計(jì)算正方形PEDG與正方形PHBF的面積之和以及矩形PEAH與矩形PGCF的面積之和.
(2)你能根據(jù)(1)的結(jié)果判斷a2+b2與2ab的大小嗎?
(3)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),有a2+b2=2ab?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)求出經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3
2
時(shí),請(qǐng)求出直線PQ的解析式.
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度精英家教網(wǎng),兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AC是正方形ABCD的對(duì)角線,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn),連接CQ,DP⊥CQ于點(diǎn)E,交BC于精英家教網(wǎng)點(diǎn)P,連接OP,OQ;
求證:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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