Question

如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點O是AC的中點，點Q是AB上一點，連接CQ，DP⊥CQ于點E，交BC于點P，連接OP，OQ；
求證：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和DP⊥CQ于點E可以得到證明△BCQ≌△CDP的全等條件；
（2）根據(jù)（1）得到BQ=PC，然后連接OB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到證明△BOQ≌△COP的全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以解決題目的問題．

解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，（4分）
在△BCQ和△CDP中，

∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3

．
∴△BCQ≌△CDP．（5分）

（2）連接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而點O是AC中點，
∴BO=

1

2

AC=CO，∠4=

1

2

∠ABC=45°=∠PCO，（9分）
在△BOQ和△CDP中，

BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO

．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，利用它們構(gòu)造證明全等三角形的條件，然后通過全等三角形的性質(zhì)解決問題．