Question

16．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，點C，D是弧AB的三等分點，半徑OC，OD分別與弦AB交于點E，F，下列說法錯誤的是（　　）

• A． AE=EF=FB
• B． AC=CD=DB
• C． EC=FD
• D． ∠DFB=75°

Answer 1

分析 由三角形內角和定理求出∠OCD的度數，根據三角形外角的性質得出∠OEF及∠OFE的度數，由此即可得出結論；根據三角形內角和定理即可得出∠AEO的度數；連接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出結論．

解答 解：∵點C，D是弧AB的三等分點，
∴AC=CD=DB，∴選項B正確；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，選項C正確；
連接AC，BD，
∵由選項C知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是$\widehat{AB}$的三等分點，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，故選項D正確；
∠OCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF≠EF，故選項A錯誤；
故選A．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及到等腰三角形的性質、全等三角形的判定定理等知識，難度適中．