Question

給出四個命題：①整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；②整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數根，則△為完全平方數；③無理數系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是無理數；④若a、b、c均為奇數，則方程ax²+bx+c=0沒有有理數根，其中真命題是

 

．

Answer 1

分析：運用一元二次方程求根公式，以及根的判別式與完全平方數可知，①②③正確，利用數據的奇偶性得出方程根的情況．

解答：解：①整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，只有△為一個完全平方數，x才是有理數，所以方程必有有理根．故：①正確；
②整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數根，則△為完全平方數；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，方程若有有理根，只有△能夠開完全平方，方程有有理數根．
故：②正確；
③無理數系數方程：

2

x-2

2

x+

2

=0的解是x=1，是有理數故：③錯誤．
④證明：
設方程有一個有理數根

n

m

（m，n是互質的整數）．
那么a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇數、偶數分類討論，
∵m，n互質，∴不可能同為偶數．
①當m，n同為奇數時，則an²+bmn+cm62是奇數+奇數+奇數=奇數≠0；
②當m為奇數，n為偶數時，an²+bmn+cm²是偶數+偶數+奇數=奇數≠0；
③當m為偶數，n為奇數時，an²+bmn+cm²是奇數+偶數+偶數=奇數≠0．
綜上所述 不論m，n取什么整數，等式a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0都不成立．
即假設方程有一個有理數根是不成立的．
∴當a，b，c都是奇數時，方程ax²+bx+c=0（a≠0）沒有有理數根
故：④正確
故填：①②④．

點評：此題主要考查了一元二次方程整數根的求法以及完全平方數和數據的奇偶性，題目難度不大．