Question

給出四個命題：①整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；②整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數根，則△為完全平方數；③無理數系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是無理數；④若a、b、c均為奇數，則方程ax²+bx+c=0沒有有理數根，其中真命題是______．

Answer 1

①整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，只有△為一個完全平方數，x才是有理數，所以方程必有有理根．故：①正確；
②整系數方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數根，則△為完全平方數；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，方程若有有理根，只有△能夠開完全平方，方程有有理數根．
故：②正確；
③無理數系數方程：

2

x-2

2

x+

2

=0的解是x=1，是有理數故：③錯誤．
④證明：
設方程有一個有理數根

n

m

（m，n是互質的整數）．
那么a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇數、偶數分類討論，
∵m，n互質，∴不可能同為偶數．
①當m，n同為奇數時，則an²+bmn+cm62是奇數+奇數+奇數=奇數≠0；
②當m為奇數，n為偶數時，an²+bmn+cm²是偶數+偶數+奇數=奇數≠0；
③當m為偶數，n為奇數時，an²+bmn+cm²是奇數+偶數+偶數=奇數≠0．
綜上所述 不論m，n取什么整數，等式a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0都不成立．
即假設方程有一個有理數根是不成立的．
∴當a，b，c都是奇數時，方程ax²+bx+c=0（a≠0）沒有有理數根
故：④正確
故填：①②④．