Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉90°后，得到△ACF，連接DF，則下列結論中有( )個是正確的。

①∠DAF=45° ②△ABE≌△ACD ③AD平分∠EDF ④

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據旋轉的性質可得出∠BAE=∠CAF，由∠BAC=90°、∠DAE=45°可得出∠CAD+∠CAF=45°，即可判斷①；②根據旋轉的性質可得出△BAE≌△CAF，不能推出△BAE≌△CAD，即可判斷②；③根據∠DAE=∠DAF=45°，根據角平分線定義即可判斷③；④根據全等三角形的判定求出△AED≌△AFD，推出DE=DF，求出∠DCF=90°，根據勾股定理推出即可．

∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，

①由旋轉，可知：∠CAF=∠BAE，

∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，

∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正確；

②由旋轉，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②錯誤；

③∵∠EAD=∠DAF=45°，

∴AD平分∠EAF，故③正確；

④由旋轉可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠DCF=90°，

由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，

即BE2+DC2=DF2，

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴DE=DF，

∴BE2+DC2=DE2，故④正確．

故選B.