Question

【題目】如圖，直線y= x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動點(diǎn)，PC+PD值最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A.（﹣3，0）
B.（﹣6，0）
C.（﹣ ，0）
D.（﹣ ，0）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（方法一）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時PC+PD值最小，如圖所示．

令y= x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得：x=﹣6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（﹣3，2），點(diǎn)D（0，2）．
∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣2）．
設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，
∵直線CD′過點(diǎn)C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有 ，解得： ，
∴直線CD′的解析式為y=﹣ x﹣2．
令y=﹣ x﹣2中y=0，則0=﹣ x﹣2，解得：x=﹣ ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．
故選C．
（方法二）連接CD，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時PC+PD值最小，如圖所示．
令y= x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得：x=﹣6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（﹣3，2），點(diǎn)D（0，2），CD∥x軸，
∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，﹣2），點(diǎn)O為線段DD′的中點(diǎn)．
又∵OP∥CD，
∴點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）．
故選C．

（方法一）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（方法二）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中位線定理即可得出點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn)，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．