Question

（2002•泉州）如圖，已知⊙O的直徑BD=6，AE與⊙O相切于E點，過B點作BC⊥AE，垂足為C，連接BE、
DE．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）若BC=4.5，求圖中陰影部分的面積（結果可保留π與根號）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弦切角定理可知：∠EDB=∠CEB，那么∠1和∠2就是等角的余角，因此也相等；
（2）要求陰影部分的面積就要知道，∠DOB的度數和DE的長，求出DE，和BE就是關鍵所在，根據（1）中的相等角，就可得出三角形BDE和BEC相似，那么可得出關于BC，BE，BD的比例關系式，有BC，BD的長，那么就能求出BE的長，有了BE的長，在直角三角形BED中就能求出DE的長和∠2的度數，也就求出了∠DOE的度數，然后過O作DE的垂線，有DE的長，有BD的長，就能求出O到DE的距離，那么就能根據陰影部分的面積=扇形ODE的面積-三角形ODE的面積求出陰影部分的面積了．
解答：（1）證明：如圖，∵AE與⊙O相切于E，
∴∠BEC=∠BDE，
∵∠DEB=90°，
∴∠EBD=90°-∠EDB，
∵BC⊥AE，
∴∠CBE=90°-∠BEC，
∴∠EBC=∠DBE，即∠1=∠2；

（2）解：由（1）可得：∠1=∠2，∠CEB=∠EDB，
∴△EDB∽△CEB，
∴=，即BE²=CB•DB．
∵DB=6，BC=4.5，
∴BE=3，
∵cos∠2===，
∴∠2=30°，
連接EO，則∠EOD=60°．
∴△DOE是等邊三角形，即DE=DO=3．
過O作OF⊥DE于F，則有OF=．
∴S_陰影=S_扇形EOD-S_△EOD=π•3²-×3×=-．
點評：本題考查了弦切角定理，圓周角定理以及相似三角形等知識，利用相似三角形來得出線段間的比例關系，從而求出線段的長是本題解題的關鍵．