Question

現(xiàn)有一寬為40厘米的矩形鐵皮，用它可以沖出3個(gè)扇形，加工成3個(gè)底面半徑為10厘米，母線長(zhǎng)為20厘米的無(wú)底面圓錐（不計(jì)接縫損失）．
（1）計(jì)算此圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角的度數(shù)；
（2）按照題目要求在下圖中畫出使鐵皮能充分利用（最省料）的示意圖，并求出矩形鐵皮的長(zhǎng)手最少為多少厘米．

Answer 1

解：（1）設(shè)圓心角的讀數(shù)為n°，則=20π．        
所以n=180．所以此扇形的圓心角的度數(shù)為180°，

（2）因?yàn)樯刃蔚膱A心角為180°，圓錐母線長(zhǎng)為20厘米，所以這個(gè)扇形是半徑為20厘米的半圓，如圖1所示，當(dāng)三個(gè)半圓所在的圓兩兩外切，且半圓的直徑與長(zhǎng)方形的邊垂直時(shí)，能使鐵皮得以充分利用
如圖2，連接O₁O₂，O₂O₃，0₃0₁．
因?yàn)?nbsp; EO₁、EO₂、EO₃兩兩外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，所以  O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0₁A+CO₃=40．
過(guò)O₃作0₃E⊥O₁O₂于E．因?yàn)镺₂O₃=O₁O₃，所以  O₁E=O₂E=O₁O₂=20．
在△0₁E0₃中，∠O₁EO₃=90°，
根據(jù)勾股定理EO₃===20． 
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形．
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°，
因?yàn)�，AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，所以四邊形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°，所以O(shè)₁E=DO₃．又因?yàn)镺₁E=DO₃，
所以四邊形0₁EO₃D是平行四邊形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO₁+O₁D=20+20．    
因此短形鐵片的長(zhǎng)至少為（20+20）厘米．
分析：（1）利用弧長(zhǎng)公式l=，以及圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形弧長(zhǎng)，求出n的度數(shù)即可；
（2）利用兩圓相切的性質(zhì)得出理EO₃=進(jìn)而求出EO₃=O₁D，得出AD=AO₁+O₁D得出答案即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算和兩圓相切的性質(zhì)．利用相切兩圓的性質(zhì)得出EO₃=O₁D是解題的關(guān)鍵．