Question

現有一寬為40厘米的矩形鐵皮，用它可以沖出3個扇形，加工成3個底面半徑為10厘米，母線長為20厘米的無底面圓錐（不計接縫損失）．
（1）計算此圓錐側面展開圖（扇形）的圓心角的度數；
（2）按照題目要求在下圖中畫出使鐵皮能充分利用（最省料）的示意圖，并求出矩形鐵皮的長手最少為多少厘米．

Answer 1

分析：（1）利用弧長公式l=

nπr

180

，以及圓錐底面圓的周長等于扇形弧長，求出n的度數即可；
（2）利用兩圓相切的性質得出理EO₃=

O1 O 2 3 -O1E2

進而求出EO₃=O₁D，得出AD=AO_l+O_lD得出答案即可．

解答：解：（1）設圓心角的讀數為n°，則

nπ×20

180

=20π．        
所以n=180．所以此扇形的圓心角的度數為180°，

（2）因為扇形的圓心角為180°，圓錐母線長為20厘米，所以這個扇形是半徑為20厘米的半圓，如圖1所示，當三個半圓所在的圓兩兩外切，且半圓的直徑與長方形的邊垂直時，能使鐵皮得以充分利用
如圖2，連接O_lO₂，O₂O₃，0₃0₁．
因為  EO₁、EO₂、EO₃兩兩外切，AO₁=B0₂=C0₃=20，所以  O₁0₂=0₂0₃=O₃O₁=0₁A+CO₃=40．
過O₃作0₃E⊥O_l0₂于E．因為0₂0₃=O_lO₃，所以  O₁E=O₂E=

1

2

O₁O₂=20．
在△0₁E0₃中，∠O₁EO₃=90°，
根據勾股定理EO₃=

O1 O 2 3 -O1E2

=

402+202

=20

3

． 
因為四邊形ABCD是矩形．
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°，
因為，A0_l=B0₂，AO_l∥B0₂，所以四邊形AB0₂0_l是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°，所以O₁E=DO₃．又因為O_lE=D0₃，
所以四邊形0₁EO₃D是平行四邊形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO_l+O_lD=20+20

3

．    
因此短形鐵片的長至少為（20+20

3

）厘米．

點評：本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算和兩圓相切的性質．利用相切兩圓的性質得出EO₃=O₁D是解題的關鍵．