Question

25、如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高，且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N．
（1）試找出圖中所有的等腰三角形，請寫出來；
（2）圖中是否有等邊三角形？若有，請找出并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，利用三角形內角和定理求得∠BAC=75°，然后可得△ADC為等腰直角三角形，△MNP為等腰三角形．
（2）由（1）可得出∠MPN=60°，從而得出△MNP為等邊三角形．

解答：解：∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD、CF都是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC為等腰直角三角形，
∴∠BAD=30°，
∴∠APF=60°，
∵∠ABC=60°BE是∠ABC的角平分線，
∴∠MBD=30°，
∴∠BMD=60°，
∴NP=NM，
∴△MNP為等腰三角形；
（2）由∠BMD=60°，
∴△MNP為等邊三角形．

點評：本題考查了三角形的內角和定理以及三角形的高、角平分線，等腰三角形的判定、等邊三角形的判定，是基礎知識要熟練掌握．