Question

已知函數y=x²+bx+c（x≥0），滿足當x=1時，y=-1，且當x=0與x=4時的函數值相等．
（1）求函數y=x²+bx+c（x≥0）的解析式并畫出它的圖象（不要求列表）；
（2）若f（x）表示自變量x相對應的函數值，且又已知關于x的方程f（x）=x+k有三個不相等的實數根，請利用圖象直接寫出實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由x=0與x=4時的函數值相等，根據拋物線的對稱性可知，
拋物線對稱軸為x==2，
即-=2，解得b=-4，
將x=1，y=-1代入y=x²-4x+c中，得1-4+c=-1，解得c=2，
∴y=x²-4x+2（x≥0）；

（2）方程f（x）=x+k的根，實質上是函數f（x）與直線y=x+k的圖象交點，
由圖象可知-2＜k≤2．
分析：（1）根據拋物線的對稱性求對稱軸，再根據對稱軸公式求b的值，把x=1，y=-1代入函數式求c的值，根據自變量取值范圍畫出函數圖象；
（2）關于x的方程f（x）=x+k有三個不相等的實數根，說明直線y=x+k與f（x）有三個交點，結合函數f（x）的圖象可求實數k的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據已知條件，利用待定系數法求二次函數解析式，根據自變量取值范圍畫函數圖象，根據圖象求k的取值范圍．