Question

已知函數(shù)y=x²+2ax+a²-1在0≤x≤3范圍內(nèi)有最大值24最小值3，則實(shí)數(shù)a的值為

 

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Answer 1

分析：先用配方法把函數(shù)化為頂點(diǎn)式的形式，求出其對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性及題目條件將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值分三種情況討論，從而求出實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：配方y(tǒng)=（x+a）²-1，
函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-a，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，-1）．
①當(dāng)0≤-a≤3即-3≤a≤0時(shí)，
函數(shù)最小值為-1，不合題意；
②當(dāng)-a＜0即a＞0時(shí)，
∵當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值；當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，
∴

9+6a+a2-1=24 a2-1=3

，解得a=2；
③當(dāng)-a＞3即a＜-3時(shí)，
∵當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值；當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，
∴

a2-1=24 9+6a+a2-1=3

，解得a=-5．
∴實(shí)數(shù)a的值為2或-5．
故答案為2或-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)的最大（小）值的方法．注意，只有當(dāng)自變量x在整個(gè)取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y才在頂點(diǎn)處取最值．而當(dāng)自變量取值范圍只有一部分時(shí)，必須結(jié)合二次函數(shù)的增減性及對(duì)稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值．